lunes, 18 de junio de 2018

Derivadas - Ejercicio 03

Resolvemos en un momento el tercer ejercicio de la relación de ejercicios de Derivadas que propusimos.

EJERCICIO 3: Consideremos la función definida por:
\[f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccr} x^2 &\mbox{si}&x\leq 1\\[1mm] 2x^2-x&\mbox{si}&x>1\\ \end{array}\right.\]
  1. Estudia la continuidad de la función.
  2. Calcula la derivada directamente para \(x\neq1\), y determina las derivadas laterales para \(x=1\). ¿Es derivable la función para este valor?
  3. Obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función para \(x_0=3\).

Con este ejercicio practicamos el estudio de la derivabilidad de una función polinómica a trozos y repasamos el procedimiento con el que obtenemos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en uno de sus puntos.

viernes, 15 de junio de 2018

Derivadas - Ejercicio 06

Concluimos por fin con el sexto y último ejercicio de la relación que propusimos para repasar las Derivadas.

EJERCICIO 6: Aquí tenemos la gráfica \(y=f\left(x\right)\):

Curva

Haz un esquema en el que se recoja el signo de la derivada, así como sus ceros y aquellos puntos en los que no exista.


Tenemos que conocer y comprender la relación que hay entre la gráfica de una función y la de su derivada, teniendo en cuenta que la derivada es la pendiente de la curva allí donde es suaaaave. Y no hemos de recordar que la función no es derivable en los puntos en los que es discontinua o en los que su gráfica presenta puntos angulosos.

Derivadas - Ejercicio 05

Vamos ahora a examinar el quinto ejercicio de la relación que propusimos para repasar las Derivadas.

EJERCICIO 5: Dada la función definida por: \[f\left(x\right)=x^3-3x\]
  1. Obtén las derivada primera y segunda.
  2. Estudia el signo de la función derivada.
  3. Deduce de lo anterior los intervalos de monotonía de \(y=f\left(x\right)\).
  4. ¿En qué puntos tiene la gráfica de los extremos relativos?
  5. Halla los límites en el infinito de esboza la curva.

Se trata de estudiar la monotonía de una función, así como de localizar los extremos de su gráfica, analizando su derivada primera. Y en segunda instancia, esbozar la gráfica tras tras averiiguar sus límites en el infinito.

Derivadas - Ejercicio 04

En esta entrada vamos a estudiar el cuarto ejercicio de la relación que propusimos para repasar las Derivadas.

EJERCICIO 4: Halla \(a\) y \(b\) en la función \[y = x^2 + a x + b\] sabiendo que su gráfica pasa por el punto \(\left(2\,,-1\right)\) y que tiene un extremo relativo para \(x=1\).

Típica cuestión en la que se trata de ajustar unos parámetros para que se cumplan unas determinadas condiciones. En este caso relacionadas con la gráfica de una función y con las derivadas.

jueves, 14 de junio de 2018

Derivadas - Ejercicio 02

Vayamos ahora con el segundo ejercicio de la relación de ejercicios de Derivadas que propusimos.

EJERCICIO 2: Halla la función derivada usando la Regla de la Cadena:

a) \(f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}\)

b) \(g\left(x\right)=\ln\left(\operatorname{sen}{x}\right)\)

c) \(u\left(x\right)=3x\operatorname{e}^{2x}\)

d) \(v\left(x\right)=\dfrac{x^2}{\cos{4x}}\)


Como vemos, se trata de calcular la función derivada de funciones elementales: neceistaremos la regla de la cadena y, en las dos últimas, combinarla con la regla de la derivada de un producto y de un cociente.

Derivadas - Ejercicio 01

En esta entrada vamos a comenzar a estudiar la relación de ejercicios de Derivadas que propusimos. Vamos con el primer ejercicio.

EJERCICIO 1: Obtengamos la derivada de las siguientes funciones:

a) \(y=x^3\operatorname{sen}{x}\)

b) \(y=\dfrac{x^3}{2x+1}\)

c) \(y=x^5\operatorname{e}^x+1\)

d) \(y=3\ln{x}-5x+1\)


Como vemos, se trata de calcular la función derivada de funciones elementales: sólo necesitamos conoces las derivadas básicas y las reglas de derivación aritméticas.

Autoevaluación de "Introducción a las derivadas"

Para aquellos que necesitéis repasar "Introducción a las Derivadas", del Primero de Bachillerato de Ciencias, os propongo una breve relación de ejercicios que os puede resultar útil.

Iremos resolviendo en sucesivas publicaciones los ejercicios de esta relación para que comprobéis qué tal os ha ido.

Recordad que están también a vuestra disposición en la carpeta de recursos los exámenes de este curso y de otros pasados, detalladamente resueltos.