domingo, 7 de diciembre de 2014

Cálculo de Primitivas II

Vamos a intentar dar respuesta al siguiente ejercicio:

Sea la función definida por \[ f\left( x \right) = x \ln \left( x+1 \right) \quad (x>-1) \] Determina la primitiva de ella cuya gráfica pasa por el punto \(\left( 0\,,1 \right) \).

Se trata de obtener una primitiva que cumple una condición: obtendremos la integral indefinida de la función y luego hallaremos la constante de integración que cumple dicha condición.

Primero obtengamos
\[ F\left( x \right) = \int x \ln \left( x+1 \right)\mathrm{d}x \] Observemos que podemos intentar obtenerla integrando por partes, donde \( x \) es la parte a integrar y \( \ln \left( x+1 \right) \) la parte a derivar:
\[ F\left( x \right) = \frac{1}{2}x^2 \cdot \ln \left( x+1 \right) -  \int \frac{1}{2}x^2 \cdot\frac{1}{x+1}\,\mathrm{d}x \]Limpiemos un poco esa integral. Sacamos la fracción numérica de ella y dejemos como un cociente:
\[ F\left( x \right) = \frac{1}{2}x^2 \ln \left( x+1 \right) -  \frac{1}{2}\int\frac{x^2}{x+1}\,\mathrm{d}x \]Ahora nos queda ahí la integral de una función racional donde el grado del numerador supera al del denominador: habrá que efectuar la división entera de polinomios.
\[ x^2  : \left( x+1 \right) \; \rightarrow \;
\left\{ \begin{array}{l}
c\left( x \right)=x-1 \\[2mm]
r=1
\end{array}\right\} \; \rightarrow \; \frac{x^2}{x+1}= x-1+\frac{1}{x+1}  \]Volviendo ahora a nuestra primitiva:
\[\begin{eqnarray*}
F\left( x \right) &=&  \frac{1}{2}x^2 \ln \left( x+1 \right) -  \frac{1}{2}\int \left(  x-1+\frac{1}{x+1} \right)\,\mathrm{d}x= \frac{1}{2}x^2 \ln \left( x+1 \right) -  \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}x^2 - x + \ln\left( x+1 \right) \right)+C \\ &=& \frac{1}{2}x^2 \ln \left( x+1 \right) -  \frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2} x -\frac{1}{2} \ln\left( x+1 \right) +C \end{eqnarray*} \] Ahora, usando la condición dada:
\[F\left( 0 \right)=1 \, \rightarrow \, 0 -0+0-0+C=1\, \rightarrow \,C=1 \] Queda, pues:
\[F\left( x \right) = \frac{1}{2}( x^2 -1) \ln \left( x+1 \right) -  \frac{1}{4}x^2 +\frac{1}{2} x+1 \]

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