lunes, 8 de diciembre de 2014

Cálculo de Primitivas III

En esta entrada resolveremos la siguiente propuesta:

Calculemos la integral indefinida \[ I= \int\! \frac{5x}{2+\sqrt x}\,{\rm d}x\] Sugerencia: usemos el cambio de variable \(x=t^2\).

Se trata de obtener una integral indefinida mediante un cambio de variable directo \(x=\varphi\left(t \right) \). Con ello la reduciremos a la integral de una función racional,  que sabremos calcular. Finalmente habrá que deshacer dicho cambio de variable.
Para realizar el cambio sugerido debemos obtener la nueva diferencial:
\[ x=t^2 \rightarrow {\rm d} x=2t \,{\rm d} t \] La integral queda:
\[I= \int\! \frac{5t^2}{2+t}\cdot 2t\,{\rm d}t=
\int\! \frac{10t^3}{t+2}\,{\rm d}t\]Ahora nos queda ahí la integral de una función racional donde el grado del numerador supera al del denominador: habrá que efectuar la división entera de polinomios.

\[10 t^3  : \left( t+2 \right) \; \rightarrow \;
\left\{ \begin{array}{l}
c\left( t \right)=10t^2-20t+40 \\[2mm]
r=-80
\end{array}\right. \] Volviendo ahora a nuestra primitiva:
\[I= \int\! \left( 10t^2-20t+40 +\frac{-80}{t+2}\right) {\rm d}t=
\frac{10}{3}t^3-10t^2+40t-80\ln\left| t+2\right| +C \] Finalmente deshaciendo el cambio:
\[ x=t^2 \,\rightarrow \, t=\sqrt{x}\] nos queda
\[\int\! \frac{5x}{2+\sqrt x}\,{\rm d}x=
\frac{10}{3}\sqrt x^3-10 x+40\sqrt x-80\ln\left|\sqrt x+2\right| +C\]


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