martes, 9 de diciembre de 2014

Cálculo de Primitivas IV

Veamos hoy cómo obtener la integral indefinida de una función racional donde su denominador tiene los ceros reales y sencillos:

Calculemos la integral indefinida \[ I=\int \! \frac{x^3+x^2}{x^2+x-2}\,{\rm d}x \]

Bien, para obtener la integral de una función racional daremos estos pasos:

En primer lugar analizamos el grado del numerador y del denominador. Si el denominador no tiene mayor grado que el denominador, efectuaremos la división y reducimos a un caso en que sí lo sea.

En segundo lugar observamos si es un logaritmo o un arco tangente que encontramos en la tabla de integrales compuestas sencillas.

Si no ocurre eso, intentamos obtener los ceros del denominador y factorizarlo. En este caso, los ceros son reales y sencillos, por lo que se procede a expresar el integrando como suma de fracciones simples cuyo de nominador es de primer grado.
Estamos ante la integral de una función racional donde el grado del numerador no es inferior al del denominador: habrá que efectuar la división entera de polinomios:\[\left( x^3+x^2 \right)   : \left( x^2+x-2 \right) \; \rightarrow \;
\left\{ \begin{array}{l}
c\left( x \right)=x \\[2mm]
r\left( x \right)=2x
\end{array}\right. \] Volviendo ahora a nuestra primitiva:
\[I= \int\! \left(x+\frac{2x}{x^2+x-2}\right) {\rm d}x \quad [*] \]
En esta última fracción, como es:
\[ x^2+x-2=0 \; \rightarrow \; x=1 \,, x=-2 \] podemos descomponer en fracciones simples así:
\[ \frac{2x}{ \left(x-1\right) \left(x+2 \right) } =\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}=  \frac{a \left(x+2 \right)+b \left(x-1\right)}{ \left(x-1\right) \left(x+2 \right)} \] Igualando los numeradores:
\[2x = a \left(x+2 \right)+b \left(x-1\right) \; \longrightarrow \;
\left\{ \begin{array}{l}
\mbox{si } x=1 \rightarrow 2 = 3a \rightarrow a =\dfrac{2}{3} \\[3mm]
\mbox{si } x=-2 \rightarrow  -4 = -3b \rightarrow b = \dfrac{4}{3}
\end{array}\right. \]De esta descomposición y [*] resulta:

\[ \int \! \frac{x^3+x^2}{x^2+x-2}\,\mathrm{d}x= \int \! x \,\mathrm{d}x + \int \! \frac{\frac{2}{3}}{x-1}\,\mathrm{d}x+ \int \! \frac{\frac{4}{3}}{x+2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^2+\frac{2}{3}\ln\left| x-1\right|+\frac{4}{3}\ln\left| x+2\right|+C \]
Aquí un vídeo que nos muestra cómo puede ayudarnos Geogebra:



Espero que te sea de provecho.

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