jueves, 11 de diciembre de 2014

Problema de programación lineal (optimización)

En esta entrada nos proponemos resolver el siguiente problema de programación lineal:

El estadio del Mediterráneo, construido para la celebración de los “Juegos Mediterráneos Almería 2005”, tiene una capacidad de 20000 espectadores.
Para la asistencia a estos juegos se han establecido las siguientes normas:el número de adultos no debe superar al doble del número de niños y el número de adultos menos el número de niños no será superior a 5000.
Si el precio de la entrada de niño es de 10 euros y la de adulto 15 euros ¿cuál es la composición de espectadores que proporciona mayores ingresos? ¿A cuánto ascenderán esos ingresos?

Su resolución tiene dos fases: una primera en la que planteamos el problema (traduciendo al lenguaje algebraico) hasta obtener el objetivo y las restricciones, y una segunda en la que dibujaremos la región factible y obtendremos el valor óptimo de la función.

Planteamiento


Leemos atentamente el problema y anotamos esquemáticamente todos los datos. Las características de las entradas son:
Entradas Precio Número
Niños 10 \(x\)
Adultos 15 \(y\)

Total de espectadores hasta 20000:    \( x+y \leq 20000 \)
Número de adultos no supera doble nº niños: \(y \leq 2 x \)
Número de adultos menos nº niños no supera 5000: \(y-x\leq5000 \)
Queremos máximos ingresos: \(i = 10x+15y \)

Concluimos:

OBJETIVO: maximizar la función
\[ i = 10x+15y \] RESTRICCIONES:
\[ R : \left\{ \begin{array}{c}x+y \leq 20000 \\ y \leq 2 x \\ y-x\leq5000  \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array} \right.\]

Resolución


La resolución la hacemos con Geogebra:


Así obtendremos ingreso máximo de 262500 € vendiendo 7500 entradas de niños y 12500 de adultos.

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