viernes, 26 de diciembre de 2014

Repaso Cálculo Diferencial - 02

Pasemos ahora a resolver el segundo ejercicio de la relación que propusimos:

Consideremos la función \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definida por
\[ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} a\cos(\pi x) +bx &\text{si}&x \leq 1\\[3mm] 2\ln(x) + x &\text{si}&x> 1 \end{array}\right.\] Calculemos \(a\) y \(b\) para que sea derivable en todo su dominio.

Vamos aquí a entrenar nuestra habilidad para analizar la derivabilidad de una función, particularmente definida a trozos, y su relación con la continuidad. Concretamente, se trata de hallar unos parámetros para que una función a trozos sea derivable en todo punto.

En primer lugar, si la función es derivable entonces debe ser continua. Observemos que las fórmulas que la definen son continuas en cada trozo del dominio que les corresponde, así sólo queda estudiar la continuidad para el separa-fórmulas:
Valor en \(x=1\): \(f\left(1\right)=a\cdot \cos\left(\pi\right)+b=-a+b\)
Tendencias en \(x=1\) : \(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} f(x) } \; \left\{\begin{array}{l} f(1_-)=-a+b\\[3mm] f(1_+)=2\ln 1 +1=1\\ \end{array}\right.\)
Para que sea continua, deben coincidir valor y tendencias, y por ello ha de de ser:
\[-a+b=1 \text{ [*] }\]
En segundo lugar, observemos que podemos derivar directamente la función en todo punto que no sea el separa-fórmulas:
\[f'(x)=\left\{\begin{array}{ccr} -a\pi\operatorname{sen}\left( \pi x \right) + b &\text{si}&x < 1\\[1mm] \dfrac{2}{x}+1 &\text{si}&x>1\\ \end{array}\right.\] Para \(x=1\), como es continua, podemos calcular las derivadas laterales como sigue:
\[ f'\left( 1_- \right)= -a\pi\operatorname{sen}\left( \pi \right) + b=b \quad , \quad f'\left( 1_+ \right)=\frac{2}{1}+1=3 \] Si queremos que sea derivable ambas derivadas laterales deben coincidir:
\[ b=3 \text{ [**] }\] Reuniendo [*] y [**] nos queda que la función es derivable en todo su dominio sólo para \( a=2 \,, b=3\).

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