sábado, 27 de diciembre de 2014

Repaso Cálculo Diferencial - 03

Pasemos a resolver el tercer ejercicio de la relación que propusimos:

Calcula
  1. \( \displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x^2} } \)
  2. \(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}\left( x^2 \cdot \operatorname{e}^{-3x} \right)} \)

Aquí vamos a calcular dos límites usando la Regla de L'Hôpital.

Vamos a calcular el primero de ellos. Lo primero será sustituir la variable por el valor hacia el que se tiende:
\[ \lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x^2}=\left\{ \frac{0}{0}= \text{indeterminación}\right\} \] Como vemos, obtenemos una indeterminación. Para esquivarla, podemos multiplicar numerador y denominador por el conjugado del numerador. Pero ya que estamos con las derivadas, observemos que podemos aplicar la Regla de L'Hôpital. Cuidado al derivar el numerador:
\[ \lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x^2}\overset{(a)}{=}\left\{ \frac{0}{0}\right\}\overset{(b)}{=} \lim_{x\to0}\frac{\, -\dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} \,}{2x}\overset{(c)}{=}\lim_{x\to0}\frac{2x}{2x\cdot 2\sqrt{1-x^2}}\overset{(d)}{=}\lim_{x\to0}\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\overset{(e)}{=}\frac{1}{2}\]Comentemos brevemente cada uno de los pasos:
  1. Sustituimos \(x=0 \), que es el número al que se tiende.
  2. Como obtenemos la indeterminación \(\frac{0}{0} \) y se cumplen las condiciones, aplicamos la Regla de L'Hôpital. Usamos la Regla de la Cadena para derivar la raíz del numerador.
  3. Pasamos el doble de la raíz, que está dividiendo en el numerador, multiplicando al denominador.
  4. Simplificamos el factor \( 2x \) en el numerador y denominador.
  5. Volvemos a sustituir \(x=0 \) y ya descubrimos el límite.
Ahora pasamos al segundo límite. Es un poquito más largo que el anterior:
\[ \lim_{x\to +\infty}\left( x^2 \cdot \operatorname{e}^{-3x}\right)\overset{[a]}{=}\left\{ +\infty \cdot 0 \right\}\overset{(b)}{=}\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{\operatorname{e}^{3x}}\overset{(c)}{=}\left\{\frac{+\infty}{+\infty}\right\}\overset{(d)}{=} \lim_{x\to +\infty}\frac{2 x}{3\operatorname{e}^{ 3x}}\overset{(e)}{=}\left\{\frac{+\infty}{+\infty}\right\}\overset{(f)}{=} \lim_{x\to +\infty}\frac{2}{9\operatorname{e}^{ 3x}}\overset{(g)}{=}\left\{\frac{2}{+\infty}\right\}\overset{(h)}{=}0 \] Comentemos brevemente cada uno de los pasos:
  1. Calculamos el límite de cada factor: en el primero tenemos \( \left(+\infty\right)^2=+\infty\) y en el segundo \(\operatorname{e}^{-\infty}=0\).
  2. Como  \(+\infty \cdot 0\) es una indeterminación, eso no conduce a ningún lado. Vamos a invertir la exponencial buscando un cociente. Para ello usamos que \(\operatorname{e}^{-y}=\frac{1}{ \operatorname{e}^{y}}\).
  3. Ahora volvemos a tomar límite \(x\to+\infty\), pero observemos el denominador: \( \operatorname{e}^{+\infty}=+\infty\).
  4. Aplicamos la Regla de L'Hôpital a la indeterminación \(\frac{+\infty}{+\infty}\), usando la Regla de la Cadena en el denominador.
  5. Volvemos a tomar límite y de nuevo la indeterminación.
  6. Así que una segunda vez aplicamos la Regla de L'Hôpital, usando la Regla de la Cadena en el denominador.
  7. Volvemos a hacer \(x\to+\infty\).
  8. Ese límite no es una indeterminación, pues si el numerador tiende hacia un número y el denominador a infinito, el cociente tiende a cero: \(\frac{k}{\pm\infty}=0\).

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