domingo, 28 de diciembre de 2014

Repaso Cálculo Diferencial - 04

Hoy nos toca analizar el cuarto ejercicio de la relación que propusimos:

Sea \(f\) la función dada por
\(f(x)=\left\{\begin{array}{ccr} \operatorname{e}^{2x} -1 &\text{si}&x \leq 0 \\[2mm] \dfrac{x^2}{x-1} &\text{si}&x>0\\[3mm] \end{array}\right.\)
  1. Analiza su derivabilidad obteniendo \(f'\left(x\right)\).
  2. Obtén sus asíntotas.

Vemos que es un ejercicio en el que hemos de aplicar nuestros conocimientos y destrezas sobre continuidad y derivabilidad de una función, así como sobre la obtención de las asíntotas de su gráfica a partir de su expresión analítica.
Bueno, comenzamos con el apartado primero, que es un tanto larguito:

CONTINUIDAD

Sólo puede ser discontinua para \(x=0\) (separa-fórmulas) y para \(x=1\) (cero del denominador), pues cada fórmula define una función continua en aquellos puntos de su trozo en los que existen. Veamos detenidamente en estos puntos.

\(\fbox{x=0}\)
Valor en \(x=0\): \(f\left(0\right)=1-1=0\)
Tendencias en \(x=0\) : \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x) } \; \left\{\begin{array}{l} f(0_-)=1-1=0\\[3mm] f(0_+)=\dfrac{0}{0-1}=0\\ \end{array}\right.\)

Concluimos que la función es continua para \(x=0\).

\(\fbox{x=1}\)
Valor en \(x=1\): \(f\left(1\right)=\text{no existe}\)
Tendencias en \(x=1\) : \(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} f(x) } \; \left\{\begin{array}{l} f(1_-)=\dfrac{1}{-0}=-\infty\\[3mm] f(1_+)=\dfrac{1}{+0}=+\infty\\ \end{array}\right.\)

Concluimos que la función tiene una discontinuidad de salto infinito para \(x=1\).

DERIVABILIDAD

Observemos que podemos derivar directamente la función salvo en los dos puntos anteriores:
\[f'(x)=\left\{\begin{array}{ccr}
2\operatorname{e}^{2x}&\text{si}&x< 0\\[3mm]
\dfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2} &\text{si}&x>0\\
\end{array}\right.\] Para \(x=1\) es evidente que no hay derivada.
Para \(x=0\), como es continua, podemos calcular las derivadas laterales como sigue:
\[ f'\left( 0_- \right)= 2\operatorname{e}^0=2\quad , \quad f'\left( 0_+ \right)=\frac{0}{1}=0 \] Concluimos así que la función no es derivable para éste valor, pues las derivadas laterales no coinciden (punto anguloso).

Pasemos ya al segundo apartado:

ASÍNTOTAS VERTICALES. Sabemos que hay salto infinito:
\[ \lim_{x \to 1} f(x)=\pm\infty\] Conluimos que \(x=1\) es una asíntota vertical.

ASÍNTOTAS HORIZONTALES. Calculemos los límites en el infinito:
\[\lim_{x \to -\infty} f(x)=\lim_{x \to -\infty}\left( \operatorname{e}^{2x} -1\right)= \operatorname{e}^{-\infty} -1=0-1=-1\] \[\lim_{x \to +\infty} f(x)=\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2}{x-1}\overset{[*]}{=}+\infty\] Concluimos que tiene \(y=-1\) como asíntota horizontal para \(x\to-\infty\).

ASÍNTOTAS OBLICUAS. Puede haber una \(y=mx+n\) para \(x\to+\infty\)
\[m= \lim_{x \to +\infty}\frac{ f(x) }{x}=
 \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2-x}\overset{[*]}{=}1 \] \[n= \lim_{x \to +\infty}\left(f(x)-mx\right)=\lim_{x \to +\infty}\left( \dfrac{x^2}{x-1} -x \right)=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x-1}\overset{[*]}{=}1\] Concluimos que hay una asíntota oblicua: \(y=x+1\) para \(x\to+\infty\).

Nota: en [*] aplicamos, por ejemplo, la Regla de los Grados.

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