lunes, 29 de diciembre de 2014

Repaso Cálculo Diferencial - 05

El ejercicio que nos ocupa es el quinto de la relación que propusimos:

Consideremos la función \( f : \left[-2\,,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \) definida por
\( f\left(x \right) = x^3+ax^2+bx+c \)
  1. Obtén los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) sabiendo que el origen de coordenadas es un punto de inflexión de su gráfica y que para \(x=1\) la recta tangente es paralela a \(2x-y+3=0\).
  2. Para \(a=0\), \(b=-3\) y \(c=0\) obtén sus valores extremos.

Típico problema que encontramos en libros, apuntes y exámenes sobre esta temática: averiguar los coeficientes de una función conociendo unas pistas. Observemos que es una función polinómica, así que no hay problemas con discontinuidades ni puntos angulosos ni otras monsergas.
En el primer apartado pondremos en práctica tres ideas: que cuando una curva pasa por un punto la ordenada se obtiene sustituyendo la abscisa en la fórmula, que la derivada segunda se anula en un punto de inflexión y que la pendiente de la recta tangente en un punto es igual a la derivada de la función en dicho punto.
En el segundo se trata de obtener los extremos de una función en un intervalo compacto: los candidatos son el punto inicial, el punto final y los ceros de la derivada.
En el primer apartado, lo primero será derivar dos veces antes de nada:
\[f\left(x \right) = x^3+ax^2+bx+c \, \xrightarrow{D} \,f'\left(x \right) = 3x^2+2ax+b \, \xrightarrow{D} \,f''\left(x \right) = 6x+2a \] Ahora vamos a ir usando las pistas dadas:
Al ser \(\left(0\,,0\right)\) un punto de la gráfica:
\[f\left(0\right)=0 \, \rightarrow \, 0+0+c=0\, \rightarrow \,c=0\] Como \(\left(0\,,0\right)\) es inflexión, de lo que sólo nos interesa que para \(x=0\) hay inflexión:
\[f''\left(0\right)=0 \, \rightarrow \, 6\cdot 0+2a=0\, \rightarrow \,a=0\] La tangente para \(x=1\) tiene la misma pendiente que \(2x-y+3=0 \,\rightarrow\, y=2x+3 \,\rightarrow\, m=2\):
\[f'\left(1\right)=m \, \rightarrow \, 3+2a+b=2\, \xrightarrow{a=0} \,b=-1\] Concluimos, pues que:
\[a=0 \,, b=-1 \,, c=0 \] Para el segundo apartado, lo mejor será colocar los coeficientes en su sitio y derivar: \[f\left(x \right) = x^3-3x \, \xrightarrow{D} \,f'\left(x \right) = 3x^2-3\] Como comentamos al principio, se trata sólo de hallar los extremos de una función (continua y derivable) en un intervalo compacto. Los candidatos son los puntos inicial y final junto con los ceros de la derivada: \[f'\left(x \right) = 0 \, \rightarrow \, 3x^2-3=0\, \rightarrow \,x^2=1\, \rightarrow \,x=\pm1\] La siguiente tabla de variación nos dará la respuesta:
\(x\)
-2

-1

1

2
\(y\)
-2
2
-2
2

Ahí vemos que el valor máximo alcanzado es \(y=2\), obteniéndose para \(x=-1\) y \(x=2\), y el valor mínimo alcanzado es \(y=-2\), obteniéndose para \(x=-2\) y \(x=-1\).

No hay comentarios:

Publicar un comentario