martes, 30 de diciembre de 2014

Repaso Cálculo Diferencial - 06

Ya estamos en el ejercicio sexto de la relación que propusimos:

Consideremos la función \( f \) definida por
\( f\left(x \right) = \dfrac{\operatorname{e}^{\,2x}}{x-1} \quad (x\neq 1) \)
  1. Estudia su continuidad.
  2. Averigua en qué intervalos crece y decrece, y obtén sus extremos relativos.
  3. Determina las asíntotas de su gráfica.

En este ejercicio hemos de estudiar la continuidad y determinar las asíntotas de una función así como estudiar la variación (monotonía y extremos). Pasemos directamente sin más preámbulos:
El análisis de la continuidad no es complejo: el numerador es una función definida y continua en todo punto (una exponencial) y el denominador también (una polinómica), así que sólo puede ser discontinua en los ceros del denominador En este caso salta a la vista que sólo hay uno:
\(\fbox{x=1}\)
Valor en \(x=1\): \(f\left(1\right)=\text{no existe}\)
Tendencias en \(x=1\) : \(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} f(x) } \; \left\{\begin{array}{l} f(1_-)=\dfrac{\operatorname{e}^2}{-0}=-\infty\\[3mm] f(1_+)=\dfrac{\operatorname{e}^2}{+0}=+\infty\\ \end{array}\right.\)

Concluimos que la función tiene una discontinuidad de salto infinito para \(x=1\).

Ahora, para estudiar su variación, vamos a derivar la función:
\[f'\left(x\right)=\frac{2\operatorname{e}^{2x}\left(x-1\right)-\operatorname{e}^{2x}\cdot1}{\left(x-1\right)^2}=\frac{\operatorname{e}^{2x}\left(2x-2-1\right)}{\left(x-1\right)^2}=\frac{\operatorname{e}^{2x}\left(2x-3\right)}{\left(x-1\right)^2} \] Veamos los ceros del numerador y denominador:
Ceros del numerador: \(\operatorname{e}^{2x}\left(2x-3\right)=0\,\rightarrow\,2x-3=0\,\rightarrow\,x=1.5\)
Ceros del denominador: \(\left(x-1\right)^2=0\,\rightarrow\,x-1=0\,\rightarrow\,x=1\)

Vamos a ver los signos en los intervalos que determinan:

Intervalo Signo de la derivada Monotonía de f
\[\left(-\infty\,,1\right)\] \[-\] \[f \searrow\]
\[\left(1\,,1.5\right)\] \[-\] \[f \searrow\]
\[\left(1.5\,,+\infty\right)\] \[+\] \[f \nearrow\]

Deducimos de ahí que \(f\) presenta un mínimo relativo (baja+sube) para: \[x=1.5 \,\rightarrow\, y=\frac{\operatorname{e}^{3}}{0.5}=2\operatorname{e}^{3}\]
Pasamos ya al estudio de sus asíntotas.

ASÍNTOTAS VERTICALES. Sabemos que hay salto infinito:
\[ \lim_{x \to 1} f(x)=\pm\infty\] Concluimos que \(x=1\) es una asíntota vertical.

ASÍNTOTAS HORIZONTALES. Calculemos los límites en el infinito:
\[\lim_{x \to -\infty}\frac{\operatorname{e}^{2x}}{x-1}\overset{(a)}{=}\left\{\frac{0}{+\infty}\right\}\overset{(b)}{=}0 \] Comentemos brevemente esos pasos:
  1. Tengamos en cuenta que \(\operatorname{e}^{-\infty}=0\).
  2. Ese límite no es una indeterminación, pues si el numerador tiende hacia un número y el denominador a infinito, el cociente tiende a cero: \(\frac{k}{\pm\infty}=0\)
\[\lim_{x\to +\infty}\frac{\operatorname{e}^{2x}}{x-1}\overset{(a)}{=}\left\{\frac{+\infty}{+\infty}\right\}\overset{(b)}{=}\lim_{x\to +\infty}\frac{2\operatorname{e}^{2x}}{1}\overset{(c)}{=}\left\{\frac{+\infty}{1}\right\}= +\infty \] Comentemos brevemente los pasos:
  1. Observemos el numerador ahora: \( \operatorname{e}^{+\infty}=+\infty\).
  2. Aplicamos la Regla de L'Hôpital a la indeterminación \(\frac{+\infty}{+\infty}\), usando la Regla de la Cadena en el numerador.
  3. Volvemos a tomar límite y ya desapareció la indeterminación.
Concluimos que tiene \(y=0\) como asíntota horizontal (sólo para \(x\to-\infty\)).

ASÍNTOTAS OBLICUAS. Podría haber una \(y=mx+n\) para \(x\to+\infty\)
\[m= \lim_{x \to +\infty}\frac{ f(x) }{x}=\lim_{x \to +\infty} \frac{\operatorname{e}^{2x}}{x^2-x}\overset{[a]}{=}\left\{\frac{+\infty}{+\infty}\right\}\overset{[b]}{=}\lim_{x \to +\infty} \frac{2\operatorname{e}^{2x}}{2x-1}\overset{[c]}{=}\left\{\frac{+\infty}{+\infty}\right\}\overset{[d]}{=}\lim_{x \to +\infty} \frac{4\operatorname{e}^{2x}}{2}=\lim_{x \to +\infty}\left(2\operatorname{e}^{2x}\right)\overset{[e]}{=}+\infty\] Comentemos brevemente cada uno de los pasos:
  1. De nuevo \( \operatorname{e}^{+\infty}=+\infty\) y en el denominador el límite de un polinomio: \(\lim_{x \to +\infty}\left(x^2-x\right)=\left(+\infty\right)^2=+\infty\).
  2. Aplicamos la Regla de L'Hôpital a la indeterminación \(\frac{+\infty}{+\infty}\), usando la Regla de la Cadena en el numerador.
  3. Volvemos a tomar límite y de nuevo la indeterminación.
  4. Así que una segunda vez aplicamos la Regla de L'Hôpital, usando la Regla de la Cadena en el numerador.
  5. Volvemos a hacer \(x\to+\infty\) y repetimos que \(\operatorname{e}^{+\infty}=+\infty\).
Concluimos que no hay una asíntota oblicua.

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