sábado, 3 de enero de 2015

Repaso Cálculo Diferencial - 07

Bueno, la primera publicación de este año 2015. No puedo dejar de desearos un buen año antes de pasar por fin a nuestro último ejercicio (el séptimo) de la relación que propusimos:

En un terreno llano se desea acotar una parcela rectangular usando 120 m. de valla metálica para vallarla, dejando en uno de sus lados una abertura de 20 m. sin vallar tal y como se muestra en la figura:
Halla las dimensiones de la parcela rectangular de área máxima que puede acotarse de esa manera y el valor de dicha área.

Estamos ante un relativamente sencillo problema de optimización: un problema con enunciado verbal en el que pretendemos averiguar bajo qué condiciones una magnitud alcanza su valor máximo o mínimo.
En el ámbito en el que nos movemos, se trata de que apliquemos nuestros conocimientos de Cálculo Diferencial.

(VARIABLES)

Comencemos señalando las variables: llamemos \(x\) al largo (base) de ese rectángulo e \(y\) al ancho (altura), medidos en metros.

(LIGADURA)

Antes de pasar a otro asunto, observemos que hay una sencilla relación (ligadura) entre ellas:
\[\text{longitud valla}=120 \,\rightarrow\, 2y+x+x-20=120 \,\rightarrow\,2x+2y=140 \,\rightarrow\,x+y=70\,\rightarrow\,y=70-x\] OJO: Observemos que debe ser \(20<x<70\).

(FUNCIÓN)

El área de la parcela es lo que tenemos que maximizar:
\[A=b\cdot h = x \cdot \left(70-x\right) = 70x-x^2 \] (DERIVADA)

Derivamos e igualamos a cero, claro:
\[A'=70-2x \,\rightarrow\, 70-2x=0 \,\rightarrow\, x=35\] Comprobamos que se trata efectivamente de un máximo estudiando el signo de la derivada:


Las condiciones son \(x=35 \rightarrow y=70-35=35 \rightarrow A=35 \times 35=1225\).

(RESPUESTA)

Concluimos que el área es máxima cuando la parcela es un cuadrado de 35 metros de lado, teniendo en ese caso un área de 1225 metros cuadrados.

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