viernes, 30 de septiembre de 2016

Actividades de repaso de Límites y Continuidad - I

Vamos a desarrollar aquí el primer ejercicio propuesto en la relación de ejercicios que enunciamos aquí:

Sea la función \(f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \[f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccr} \dfrac{2x^2}{x+1} &\text{si}&x \leq 1\\[4mm] 1+\operatorname{e}^{1-x}&\text{si}&x>1\\ \end{array}\right. \] a) Obtén su dominio de definición.

b) Estudia su continuidad.

c) Obtén sus asíntotas.
Vamos aquí a repasar algunas cuestiones elementales en lo referente al estudio de la continuidad de una función compuesta de trozos elementales y a la obtención de las asíntotas de su gráfica.


a) DOMINIO:

Observemos que \(y=\dfrac{2x^2}{x+1}\) tiene tiene denominador cero sólo cuando \(x=-1\) (que entra dentro del intervalo de definición \(x<1\)) y que la curva exponencial \( y=1+\operatorname{e}^{1-x} \)está definida en todo punto. Por ello:

\[ \mathbb{D}=\mathbb{R}-\left\{ -1\right\} = \left(-\infty\,, -1\right) \cup \left(-1\,, +\infty \right)\] b) CONTINUIDAD:

Sólo puede ser discontinua para x=-1 (cero del denominador) y para (separa-fórmulas), pues cada fórmula define una función continua donde existe. Veamos detenidamente en estos puntos:

\(x=-1\):

\(\displaystyle{f\left(-1\right)=\frac{2}{0}=\text{ NO}}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{2x^2}{x+1}= \left[ \frac{2}{0} \right] = \pm \infty}\)

Concluimos que hay una discontinuidad de salto infinito para \(x=-1\).

\(x=1\):

\(\displaystyle{f\left(1\right)=\frac{2}{1+1}=1}\)

\(\displaystyle{f\left(1-\right)= \dfrac{2}{1+1}=1}\)

\(\displaystyle{f\left(1+\right)=1+\operatorname{e}^{1-1}=1+\operatorname{e}^{0}=2}\)

Concluimos que hay discontinuidad de salto finito para \(x=1\).

c) ASÍNTOTAS:

Asíntotas verticales.

Como hay salto infinito, tenemos que hay una: \(x=-1\).

Asíntotas horizontales.

Calculemos los límites en el infinito:

\(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} f\left(x\right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2}{x+1}=-\infty}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} f\left(x\right) = 1+\operatorname{e}^{1-\infty}= 1+\operatorname{e}^{-\infty}= 1+0=1}\)

Concluimos que hay una asíntota horizontal: \(y=1\) para \(x\to+\infty\)

Asíntotas oblicuas:

Como no hay asíntota horizontal si \(x\to-\infty\), puede haber una oblicua \(y=2x-2\)

: \(\displaystyle{ m=\lim_{x \to -\infty} \frac{f\left( x\right)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2}{x^2+x}=2 }\)

\(\displaystyle{ n= \lim_{x \to -\infty} \left( f\left( x \right) - m x \right) = \lim_{x \to -\infty} \left( \frac{2x^2}{x+1} - 2 x \right) = \lim_{x \to -\infty}\frac{-2x}{ x+1 } =-2 }\)

Concluimos que hay una asíntota oblicua: \(y=2x-2\) para \(x\to-\infty\)

Observemos cómo puede GEOGEBRA ayudarnos (pulsa sobre los botones de avance, retroceso o pausa):


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