lunes, 3 de octubre de 2016

Actividades de repaso de Límites y Continuidad - II

Vamos a desarrollar aquí el segundo ejercicio propuesto en la relación de ejercicios que enunciamos aquí:

Determina \(a\,,b\,,c\) para que la curva \(y=\dfrac{a}{x^2+bx+c} \) sea la siguiente:

Gráfica con asíntotas verticales en x=-3 y x=1 que pasa por (0,-1).


Se trata de que relacionemos la gráfica con su fórmula para que, observando sus asíntotas y algún punto de ella, obtengamos coeficientes desconocidos en dicha fórmula.

Como la función es racional, sólo puede ser discontinua en los ceros del denominador. Y en la gráfica vemos que hay asíntotas verticales (discontinuidades de salto infinito) para \( x=-3 \) y \(x=1\). Así que éstos son los ceros del denominador y por ello: \[ x^2+bx+c=\left(x+3\right) \left(x-1\right) \,\rightarrow\, x^2+bx+c=x^2+2x-3 \,\rightarrow\, b=2\,, c=-3 \] Por otro lado, observamos claramente que la gráfica pasa por el punto \( \left(0\,,-1\right) \); así: \[ f\left(0\right)=-1 \, \rightarrow\, \frac{a}{0+0-3}=-1 \, \rightarrow\, a=3 \] Resumiendo: \[ a=3\,, b=2\,,c=-3 \]

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