miércoles, 5 de octubre de 2016

Actividades de repaso de Límites y Continuidad - III

Vamos a desarrollar aquí el tercer ejercicio propuesto en la relación de ejercicios que enunciamos aquí:

Consideremos la función continua \( f : \left[-1\,,3\right] \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ccr} x+k &\text{si}&-1\leq x \leq 0 \\ x^2-3x+1 &\text{si}& 0 < x \leq 3 \\ \end{array}\right. \] a) Calcula el valor de la constante \( k \).

b) Demuestra que alcanza su valor máximo y su valor mínimo.

c) Dibuja su gráfica y determina los extremos anteriores.


Vamos aquí a trabajar con la continuidad de una función a trozos con un parámetro, el Teorema de Weierstrass (extremos de funciones continuas en intervalos compactos) y la obtención de los extremos trazando una gráfica elemental.

a) Obtengamos k sabiendo que es continua:

Al ser polinómica a trozos, sólo podría ser discontinua para \(x=0 \) [separa-fórmulas]. Aquí es:

\( \left.\begin{array}{l} f\left(0\right)= k \\[2mm] f\left(0-\right)= k \\[2mm] f\left(0+\right)=1 \end{array}\right\} \, \rightarrow \, k=1 \)

b) Existencia de extremos.

Al ser continua en el intervalo compacto , el Teorema de Weierstrass garantiza que la función alcanza en él su valor máximo y su valor mínimo (extremos absolutos).

c) Gráfica y extremos.

Su gráfica se compone de un trozo de la recta \( y=x+1 \) (segmento) para \( -1 \leq x \leq 0 \) y de un trozo de la parábola \( y=3 x^2 - 3x + 1 \) para \( 0 < x \leq 3 \). Con un par de tablas de valores la obtenemos. Aquí está con Geogebra:


Observamos que el mínimo (absoluto) se alcanza en el punto \(C=\left(-1.5 \,,-1.25\right) \) (vértice de la parábola) y que el máximo (absoluto) se alcanza en los puntos \( B=\left(0 \,,1\right) \) y \( D=\left(3 \,,1\right) \).

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