viernes, 7 de octubre de 2016

Actividades de repaso de Límites y Continuidad - IV

Vamos a desarrollar aquí el cuarto ejercicio propuesto en la relación de ejercicios que enunciamos aquí:

Consideremos la ecuación \[ \operatorname{e}^{-x}=1+\ln\left(x\right) \]
  1. Demuestra que tiene solución, encontrando un intervalo de longitud igual a una décima que la contenga.
  2. Dibuja las gráficas que definen cada uno de sus miembros y determina cuántas soluciones tiene.

Vamos a mostrar nuestras destrezas aplicando el Teorema de Bolzano para demostrar la existencia de soluciones de una ecuación y determinar el número de soluciones apoyándonos en la representación de gráficas elementales.

a) Existencia de solución

Vamos a intentar aplicar el Teorema de Bolzano a la función \( \varphi\left(x\right)=\operatorname{e}^{-x}-\ln\left(x\right)-1 \), pues los ceros de esta función son precisamente las soluciones de la ecuación dada. Tanteando: \[ \varphi\left(0.6\right)= 0.05\ldots \quad \text{y} \quad \varphi\left(0.7\right)= -0.14\ldots \] Ya lo tenemos: como la función \( \varphi \) es continua para \( x>0 \), tenemos que es continua en el intervalo compacto \( \left[ 0.6 \,, 0.7 \right] \) , tomando además en \( x=0.6 \) y \( x=0.7 \) valores de signos contrarios. Por el Teorema de Bolzano la función \( \varphi \) tiene al menos un cero en el intervalo \( \left( 0.6 \,, 0.7 \right) \), que es es una solución de la ecuación \( \operatorname{e}^{-x}=1+\ln\left(x\right) \).

b) Gráfica y número de soluciones.

Aquí están, realizadas con Geogebra, a continuación las gráficas de \( y=\operatorname{e}^{-x}\) y de \( y=\ln\left(x\right)+1 \):


Se aprecia sin duda alguna que sólo hay una solución.

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