jueves, 10 de noviembre de 2016

Asíntota de una función con radicales

Vamos a estudiar aquí un ejercicio propuesto en clase y que ha aparecido en Pruebas de Selectividad:

Sea la función \(f: \left[1\,,+\infty\right) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \[f\left(x\right)=\sqrt{x^2 -x} +x \] Obtén la asíntota de su gráfica.
Repasaremos algunas cuestiones elementales sobre cálculo de límites y obtención de las asíntotas de una gráfica.


Observemos que nos dice "la asíntota", dando a entender que sólo tiene una.

La función no tiene saltos infinitos, al ser continua en todo su dominio y, por ello, no tiene asíntotas verticales.

Comprobemos si hay horizontales viendo si el es finito el límite para \(x\to+\infty\): \[\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 -x} +x \right) = +\infty + \infty = +\infty \] Concluimos que no las tiene. Por ello, si hay asíntota tendrá que ser una oblicua \(y=mx+n\):

\[ m=\lim_{x \to +\infty} \frac{ \sqrt{x^2 -x} + x }{x} = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{\sqrt{x^2-x}}{x}+\frac{x}{x}\right)= \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{\frac{x^2-x}{x^2}}+1\right) =1+1=2 \] \[\begin{align*} n&= \lim_{x \to +\infty} \left( f\left( x \right) - m x \right) = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 -x} - x \right) = \lim_{x \to +\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2 -x} - x\right)\left(\sqrt{x^2 -x} + x\right)}{ \left(\sqrt{x^2 -x} + x\right) }\\ {}&= \lim_{x \to +\infty}\frac{-x}{\sqrt{x^2 -x} + x } = \frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2} \end{align*} \] Concluimos que hay una asíntota oblicua: \(y=2x-\frac{1}{2}\)

Observemos cómo puede GEOGEBRA ayudarnos. Observemos la asíntota oblicua para la porción de gráfica correspondiente al dominio \( \left[1\,+\infty \right) \):

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