viernes, 18 de noviembre de 2016

Teorema de Rolle con parámetros

Hoy vamos a estudiar el siguiente típico ejercicio relativo al Teorema de Rolle:

Dada \( f : \left[-1\,,5\right] \rightarrow \mathbb{R} \) definida por
\[ f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} -x^2+a x & \text{si} & -1\leq x <3\\[2mm] b x + c & \text{si}& 3 \leq x \leq 5 \end{array}\right.\] Calculemos \(a\) , \(b\) y \(c\) para que cumpla las hipótesis del Teorema de Rolle. ¿Cuál es el valor medio \( \xi \) para el que se cumple la tesis?

Como vemos, se trata de calcular tres parámetros para que se cumplan las tres hipótesis del Teorema de Rolle. Y, para ellos, obtener el valor en el que se cumple la tesis del Teorema.

PARTE I : OBTENGAMOS LOS PARÁMETROS

Una de las hipótesis es que la función debe ser continua en el intervalo cerrado \( \left[-1\,,5\right] \).

Observemos que cada fórmula es continua en el trozo de dominio en que está definida, pues son polinómicas. Así que sólo puede ser discontinua en \( x=3 \) por ser el separa-fórmulas. Veamos:

Valor en \(x=3\): \(f\left(3\right)=b\cdot 3 + c= 3b+c \)
Tendencias en \(x=3\) : \(\displaystyle{ \lim_{x \to 3} f(x) } \; \left\{\begin{array}{l} f\left(3_-\right)=-9+3a\\[2mm] f\left(3_+\right)=3b+c\\ \end{array}\right.\)

Para que sea continua, deben coincidir valor y tendencias, y por ello ha de de ser: \[ 3b+c=3a-9 \quad \rightarrow \quad c=3a-3b-9 \text{ [*] }\] Otra de las hipótesis es que la función debe ser derivable en el intervalo \( \left(-1\,,5\right) \).

Observemos que podemos derivar directamente en dicho intervalo excepto en el separa-fórmulas: \[f'\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccr} -2x+a & \text{si}& -1< x <3\\[2mm] b & \text{si}& 3 < x < 5 \end{array}\right.\] Para \(x=3\), si es continua, podemos calcular las derivadas laterales como sigue: \[ f'\left( 3_- \right)= -6+a \quad , \quad f'\left( 3_+ \right)=b \] Si queremos que sea derivable ambas derivadas laterales deben coincidir:
\[ b=a-6 \text{ [**] }\] La última hipótesis es que debe cumplirse la igualdad: \[ f\left(-1\right) = f\left(5\right) \quad \rightarrow -1-a=5b+c \text{ [***] }\] Sustituyendo desde [*] y [**], la igualdad [***] se queda: \[1-a=5\left(a-6 \right)+3a-3\left(a-6 \right)-9 \quad \rightarrow \quad a=\frac{10}{3}\] Ahora ya podemos sacar los otros parámetros colocando éste valor: de [**] obtenemos \( b=-\dfrac{8}{3} \) y ahora de [***] deducimos \(c= 9\).

PARTE II : OBTENGAMOS EL VALOR MEDIO DE LA TESIS

La tesis del Teorema de Rolle nos dice que, cumplidas las hipótesis, existe algún valor \( \xi \in \left(-1\,,5\right) : f'\left(\xi\right)=0 \). Este \( \xi \) es el que hemos de calcular. Como es \[f'\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccr} -2x+ \dfrac{10}{3}& \text{si}& -1< x < 3\\[3mm] -\dfrac{8}{3} & \text{si}& 3 \leq x < 5 \end{array}\right.\] entonces \[f'\left(\xi\right)=0 \,\rightarrow\, -2 \xi+ \dfrac{10}{3}=0 \,\rightarrow\, \xi=\dfrac{5}{3} \].

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