domingo, 4 de diciembre de 2016

Un ejercicio de Distribución Binomial

Esta es la primera entrada sobre Cálculo de Probabilidades de este blog y va acerca de un sencillo ejercicio sobre la Distribución Binomial.

En un proceso de fabricación de tornillos se sabe que el 2% son defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. Tomemos una de estas cajas a azar.
  1. ¿Qué probabilidad hay de que no haya ningún tornillo defectuoso en ella?
  2. ¿Y de que haya sólamente uno?
  3. Calculemos la probabilidad de que haya al menos dos defectuosos.
¿Cuántos tornillos defectuosos habrá, por término medio, en cada caja?

Prácticamente todo se reduce a observar que se trata de un experimento que puede enmarcarse en el modelo de la Distribución Binomial. Una vez hecho esto, simplemente usar la lógica y aplicar la fórmula la probabilidad que nos proporciona el modelo.

ENCUANDRANDO EL PROBLEMA

Si tomamos un tornillo y observamos si es defectuoso o no, estamos ante una experiencia de Bernoulli: sólo hay dos resultados posibles (éxito = tornillo defectuoso y fracaso = tornillo sin defectos) con \(p=0.02 \rightarrow q=0.98\). Suponemos que la cantidad de tornillos fabricados es enorme y, por ello, podemos considerar que si repetimos la prueba el resultado es independiente de lo obtenido previamente y su probabilidad permanece invariable.

Coger una caja de cincuenta unidades equivale a repetir dicha experiencia cincuenta veces. Así, podemos considerar que \(X\) = "número de tornillos defectuosos" sigue una distribución binomial con \(n=50\) y \(p=0.02\); esto es: \(\mathscr{B}\left(50\,;0.02\right) \)

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Aplicamos la conocida fórmula: \[ \operatorname{p}\left[X=k\right] = \binom{n}{k}p^kq^{n-k} \] a) Se pide la probabilidad de cero éxitos: \[ \operatorname{p}\left[X=0\right] = \binom{50}{0}\cdot{0.02}^0 \cdot {0.98}^{50} = 0.3642 \] b) Se pide la probabilidad de que haya un éxito: \[ \operatorname{p}\left[X=1\right] = \binom{50}{1}\cdot{0.02}^1 \cdot {0.98}^{49} = 0.7358 \] c) Observamos que lo contrario de "al menos dos defectuosos" es "uno o ningún defectuoso". Así: \[ \operatorname{p}\left[ X\geq 2\right] = 1 - \operatorname{p}\left[X=0\right]-\operatorname{p}\left[X=1\right]= 1- 0.3642 - 0.7358 = 0.2642\] ESPERANZA O MEDIA

Nos preguntamos por el número de tornillos defectusos que esperamos que haya en cada caja: será el número de tornillos que hay en cada caja por la probabilidad de que uno de ellos sea defectuoso. Luego: \[ E\left[X\right] = n \cdot p = 50 \cdot 0.02 = 1 \] Así que esperamos que en cada caja haya un tornillo defectuoso. Se trata del número medio de tornillos defectuosos por caja.

Si lo pensamos bien, es muy simple: el número medio o esperado de tornillos defectuosos en cada caja es el dos por ciento de cincuenta unidades.

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