domingo, 30 de abril de 2017

Sistemas de Ecuaciones - Ejercicio 02

En este espacio vamos a considerar el segundo ejercicio de la relación de ejercicios de Sistemas de Ecuaciones que se propuso en una entrada anterior.

Sea el sistema de ecuaciones
\[ \left. \begin{array}{rcr} (m+2) x -\phantom{m} y - z &= & 1 \\[1mm] -x - \phantom{m} y + z & = & -1 \\[1mm] x + m y - z & = & m \end{array} \right\} \]
  1. Para cierto valor del parámetro m sabemos que la inversa de la matriz de coeficientes es la que sigue. Determine dicho valor de m y resuelva el sistema.
  2. \[M=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&-2\\0&-1&-1\\1&-1&-3\\\end{array}\right)\]
  3. Discuta el sistema según los valores del parámetro m.
  4. Resuelva el sistema en el caso de que tenga infinidad de soluciones.

Bueno, es un ejercicio muy completo en la que cada apartado nos demanda un saber diferente: la resolución matricial de un sistema en el primero, el Teorema de Rouché (por ejemplo) en el segundo y resolver un sistema de ecuaciones compatible indeterminado en el tercero.

APARTADO A.

Para calcular el valor de \(m\) tengamos en cuenta que si \(C\) es la matriz de coeficientes y \(M\) es su inversa entonces su producto es la matriz identidad. Multiplicando la primera fila de \(C\) por la primera columna de \(M\) debemos obtener el elemento de la primera fila y primera columna de \(\mathrm{I}\), que es \(1\): \[C \cdot M = \mathrm{I } \, \rightarrow \, (m+2) \cdot 1 – 1 \cdot 0 – 1 \cdot 1 = 1 \,\rightarrow\, m=0\] Para resolverlo, como conocemos la matriz inversa de los coeficientes, expresamos el sistema matricialmente y despejamos la matriz de incógnitas: \[C X = B \rightarrow X = C^{-1} B \rightarrow X= M B\] En nuestro caso: \[ \left( \begin{array}{@{}c@{}}x\\y\\z\end{array} \right)= \left(\begin{array}{rrr}1&-1&-2\\0&-1&-1\\1&-1&-3\\\end{array}\right) \left( \begin{array}{@{}r}1\\-1\\0\end{array} \right) \; \xrightarrow{operando}\; \left( \begin{array}{@{}c@{}}x\\y\\z\end{array} \right)= \left( \begin{array}{@{}r@{}}2\\1\\2\end{array} \right) \] Como vemos, el sistema es compatible determinado (sistema con solución única) y ahí tenemos la solución: \[ x=2 \,,\, y=1 \,,\, z=2\] APARTADO B

Vamos a usar el Teorema de Rouché. Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y vemos cuándo es cero: \[\det(C)=-m^2+1 \; \xrightarrow{|C|=0} \;-m^2+1=0 \rightarrow m=\pm1\] Caso 1: \(m\neq\pm1\)
Como \(\operatorname{det}\left(C\right)\neq0\) y no hay más de tres filas en la ampliada \[\operatorname{rg}\left(C\right)=\operatorname{rg}\left(A\right)=3=\text{ nº incógnitas}\] Concluimos que el sistema es compatible determinado.
Caso 2: \(m=-1\) \[ A = \left( \begin{array}{rrr|r}1 &-1& -1 &1\\-1 &-1& 1&-1 \\1 & -1 & -1 &-1\end{array} \right) \] Observemos los menores: \[ \Delta_2=\left|\begin{array}{rc}1&-1\\[1mm]-1&-1\end{array}\right| \neq 0 \; \xrightarrow{orlamos} \; \Delta_{3}^{1}=\left|C\right|=0 \; , \; \Delta_{3}^{2}= \left|\begin{array}{rrr}1 &-1 &1\\-1& -1 &-1\\ 1 & -1 & -1\\ \end{array}\right| =4\neq 0 \] Deducimos de aquí que el sistema es incompatible al ser: \[\operatorname{rg}\left(C\right)=2\neq\operatorname{rg}\left(A\right)=3\] Caso 3: \(m=1\) \[ A = \left( \begin{array}{rrr|r}3 &-1& -1 &1\\-1 &-1& 1&-1 \\1 & 1 & -1 &1\end{array} \right)\] Observemos los menores: \[ \Delta_2=\left|\begin{array}{rc}3&-1\\[1mm]-1&-1\end{array}\right| \neq 0 \; \xrightarrow{orlamos} \; \Delta_{3}^{1}=\left|C\right|=0 \; , \; \Delta_{3}^{2}= \left|\begin{array}{rrr} 3 &-1 &1\\-1& -1&-1\\1 & 1 & 1\\ \end{array}\right| =0 \] Tenemos así \[\operatorname{rg}\left(C\right)=\operatorname{rg}\left(A\right)=2 < 3 = n\] Por ello concluimos que el sistema es compatible indeterminado con \(3-2=1\) parámetro (o incógnita libre).

APARTADO C:

Del estudio previo deducimos que es \(m=1\) y que el sistema equivale al sistema formado con las dos primeras ecuaciones (filas del menor principal \( \Delta_2\neq0\)) , con \(x\) e \(y\) como incógnitas principales (columnas del menor principal) y \(z\) como incógnita libre o parámetro: \[ S \equiv \left\{ \begin{array}{r}3x-y=\phantom{-}1+z \\[1mm]-x-y=-1-z\end{array}\right. \] Poniendo \(z=\lambda\) y resolviendo ese sencillo sistema: \[\left( x\,, y \,, z \right) = \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lambda \,, \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \lambda \,, \lambda \right) \] A la hora de resolver este tipiquísimo ejercicio que encontramos en cualquier libro, tratado, apunte,... de la materia, tratado a este nivel, Geogebra puede sernos de gran ayuda. Puedes verlo en este archivo de Geogebra, con su enunciado y resolución.

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