domingo, 30 de abril de 2017

Sistemas de Ecuaciones - Ejercicio 03

Vamos a estudiar en esta ocasión el tercer ejercicio de la relación de ejercicios de Sistemas de Ecuaciones que se propuso en una entrada anterior.

Sea el sistema de ecuaciones
\[ \left. \begin{array}{r}bx+3y+\phantom{b}z=2\\[2mm]4x-6y+bz=b\end{array}\right\} \]
  1. Discuta el sistema comparando los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.
  2. ¿Qué interpretación geométrica tiene el sistema y, si fuese compatible, su solución?
  3. Resuelva el sistema para \(b=0\).
  4. Razone si para cierto valor de \(b\) es \( \left( 1 \, , 1 \, , -1 \right) \) una solución.

Bueno, aunque no es estrictamente necesario, vamos a usar también para la discusión del sistema el Teorema de Rouché. La resolución y la discusión geométrica son sencillos al tener sólo dos ecuaciones. Manos a la obra.



La matriz (ampliada) del sistema es: \[ A=\left( \begin{array}{crr|r}b & 3 & 1 & 2\\[1mm]4 & -6 & b & b\\[1mm]\end{array} \right) \] APARTADO A.

Vemos primero que hay un menor de orden uno (el cuatro de la segunda fila, por ejemplo) no nulo: \[ \Delta_1=\operatorname{det} \left( 4 \right)\neq 0 \] Calculemos los orlados de orden dos de ese menor con la primera fila: \[ \Delta_{2}^{1}=\left| \begin{array}{cr}b &3\\ 4 &-6 \end{array}\right| = -6b-12 = -6\left(b+2\right) \,,\, \Delta_{2}^{2}=\left| \begin{array}{rr}b &1\\4 &b \end{array}\right| = b^2-4 = \left(b+2\right)\left(b-2\right) \,,\, \Delta_{2}^{3}=\left| \begin{array}{rr}b &2\\4 &b \end{array}\right| = b^2-8 \] Observemos que los dos orlados en los coeficientes sólo se anulan simultáneamente para \(b=-2\).
Caso 1: \(b=-2\)
Los dos orlados en en la matriz de coeficientes son cero, pero el tercer orlado de la ampliada, con los términos independientes no es cero, así tenemos que es incompatible pues los rangos no son iguales: \[ \left.\begin{array}{rcl} \Delta_1^1\neq0 \,,\, \Delta_2^1=\Delta_2^2=0 & \rightarrow & \operatorname{rg}\left(C\right)=1\\[2mm] \Delta_2^3\neq0 & \rightarrow & \operatorname{rg}\left(A\right)=2\\ \end{array}\right\} \, \longrightarrow\,\operatorname{rg}\left(C\right) \neq \operatorname{rg}\left(A\right) \] Caso 2: \(b\neq-2\) Tenemos que \( \Delta_2^1\neq0 \) y así el rango de ambas matrices es el máximo posible: \[ \operatorname{rg}\left(C\right)=\operatorname{rg}\left(A\right)=2<3 \] Es compatible indeterminado con \(3-2=1\) un parámetro.

APARTADO B:

Del estudio previo se deduce: Si \(b=-2\) se trata de dos planos paralelos en el espacio
Si \(b\neq-2\) se trata de dos planos secantes en una línea recta, que es la solución del sistema.

APARTADO C:

Sabemos, del primer apartado, que es un sistema compatible indeterminado: \[ \left.\begin{array}{r}3y+\phantom{b}z=2\\[2mm]4x-6y=0\end{array}\right\} \, \xrightarrow{y=\lambda} \, \left\{\begin{array}{rcr}x &= &1.5 \lambda\\[1mm]y&= & \lambda\\[1mm]z&= &2-3\lambda\end{array}\right. \] APARTADO D:

Pongamos \( x=1\,\,y=1\, ,\, z=-1 \) \[\left\{ \begin{array}{r}b+3-1=2 \rightarrow b=\phantom{-}0\\[1mm]4-6-b=b\rightarrow b=-1\\[1mm]\end{array}\right. \] Como vemos, es imposible: no hay ningún valor de \(b\) que cumpla dichas condiciones. Por ello, no puede ser solución del sistema en ningún caso.

Este problema tiene escasa complejidad algebraica, por lo que no es necesario ningún apoyo tic. No obstante, puedes verlo resuelto en este archivo de Geogebra, con su enunciado y resolución.

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