domingo, 30 de abril de 2017

Sistemas de Ecuaciones - Ejercicio 04

Con esta entrada concluimos la serie dedicada a la resolución de los ejercicios propuestos en la relación acerca de los Sistemas de Ecuaciones. En esta ocasión analizamos el cuarto y último ejercicio:

Sea el sistema de ecuaciones
\[ \left. \begin{array}{r} k x+\phantom{k}y=1\\[1mm]x+{k}y=1\\[1mm]x+\phantom{k}y=k\\\end{array}\right\} \]
  1. Discuta el sistema comparando los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.
  2. Resuelva el sistema para \(k=1\).

Volveremos, otra vez, a utilizar para la discusión del sistema el Teorema de Rouché. Y la resolución será, como veremos, muy sencilla ya que para dicho valor del parámetro las tres ecuaciones coinciden: estamos realmente ante un sistema con \(x+y=1\) como única ecuación.



La matriz (ampliada) del sistema es: \[ A=\left( \begin{array}{cc|c}k & 1 & 1\\[1mm]1 & k &1\\[1mm]1 & 1 &k\\\end{array} \right) \] APARTADO A.

Nótese que en este caso la matriz ampliada es cuadrada. Calculemos el determinante de la matriz ampliada y veamos cuándo es cero: \[ \operatorname{det}\left(A\right)=k^3-3k+2=0 \, \rightarrow \, k=1\,,\, k=-2\] Caso 1: \(k=\neq-2 \text{ y } k\neq1\)
El rango de la ampliada es 3 (pues su determinante es no nulo) pero el rango de la matriz de coeficientes no puede ser 3 (tiene dos columnas): \[ \operatorname{rg}\left(A\right)=3>\operatorname{rg}\left(C\right) \] Lo que nos lleva a concluir que es un sistema incompatible.
Caso 2: \(k=-2\)
Tenemos que el determinante de la ampliada es no nulo y encontramos en la matriz de coefientes este menor de orden dos no nulo: \[ \Delta_{2}=\left| \begin{array}{rr}-2 &1\\1 &-2 \end{array}\right| \neq 0 \] Por ello el sistema es compatible determinado al ser: \[ \operatorname{rg}\left(C\right)=\operatorname{rg}\left(A\right)=2=\text{ nº incógnitas} \] Caso 3: \(k=1\)
No encontramos ningún menor de orden 2 distinto de cero pero por lo menos \( \Delta_{1}=\operatorname{det}\left( 1 \right) \neq 0 \). Luego: \[ \operatorname{rg}\left(C\right)=\operatorname{rg}\left(A\right)=1<2=\text{ nº incógnitas} \] Es compatible indeterminado con \(2-1=1\) un parámetro o incógnita libre.

APARTADO B:

Del estudio anterior se deduce que equivale al sistema formado por sólo la primera ecuación (fila del menor principal) y tiene 1 parámetro: \[ S\equiv\left\{\begin{array}{c}x+y=1\end{array}\right\} \, \xrightarrow{x=\lambda} \, \left\{\begin{array}{rcr}x &= & \lambda\\[1mm]y&= & 1-\lambda\\\end{array}\right. \] Este problema tiene escasa complejidad algebraica, por lo que no es necesario ningún apoyo tic. No obstante, puedes verlo resuelto en este archivo de Geogebra, con su enunciado y resolución.

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