viernes, 28 de abril de 2017

Sistemas de Ecuaciones - Ejercicios 01

En esta entrada vamos a comenzar a estudiar la relación de ejercicios de Sistemas de Ecuaciones que propusimos. Vamos con el primer ejercicio.

EJERCICIO 1: Sea el sistema de ecuaciones
\[ \left\{ \begin{array}{ccr} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z&=&1\\[1mm] a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z& =& -1\\[1mm] a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z& =& 2 \end{array} \right. \] Si \( A \) designa a la matriz de los coeficientes, resuelve el sistema sabiendo que
\[ A^{-1} = \left( \begin{array}{ccr} 1 & 0 & -1\\ 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right) \]

Muchos estudiantes se sienten desconcertados nada más ver el enunciado: ¡no se conoce ni uno sólo de los coeficientes! Pero es una práctica muy simple: se trata sólo de expresar y resolver matricialmente el sistema.

Observemos en primer lugar que es un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Y en segundo lugar que la matriz de los coeficientes tiene inversa y es conocida. Como también conocemos la matriz de los términos independientes, basta con expresar matricialmente el sistema y convertirlo en una ecuación matricial donde la incógnita sea la matriz de las incógnitas. Vamos paso a paso.
Consideremos la matriz de coeficientes, de incógnitas y de términos independientes del sistema: \[ A = \left(\begin{array}{ccr}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{array}\right) \, , \, X = \left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) \, , \, B = \left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{array} \right) \] Expresamos matricialmente el sistema y resolvemos despejando la matriz \(X\) de coeficientes: \[ A X = B \rightarrow A^{-1} A X = A^{-1} B \rightarrow I X = A^{-1} B \rightarrow X = A^{-1} B \] En nuestro caso: \[ \left( \begin{array}{@{}c@{}}x\\y\\z\end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccr}1 & 0 & -1\\1 & 2 & 3\\0 & 0 & 1\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{@{}r}1\\-1\\2\end{array} \right) \; \xrightarrow{operando}\; \left( \begin{array}{@{}c@{}}x\\y\\z\end{array} \right)= \left( \begin{array}{@{}r}-1\\5\\2\end{array} \right) \] Como vemos, el sistema es compatible determinado (sistema con solución única) y ahí tenemos la solución: \[ x=-1 \,,\, y=5 \,,\, z=2\] Es un sencillo ejercicio que podemos resolver sin necesidad siquiera de calculadora. Para ver cómo se escriben las matrices y se realizan las operaciones en Geogebra, aquí lo tenemos completo con su enunciado y resolución.

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